Sitio Web de Héctor E. Medellín Anaya

Tareas

Tarea #1 (Introducción a MatLab)

1. Crear un archivo M de función, fun_es(x), que calcule la siguiente función:

y = 0.5ex/3 -  x2 sen x

El argumento debe aceptar tanto un escalar como un vector. Pruebe su definición tebcleando en MatLab

func_es(3)

func_es([1 2 3])

2. Escriba un archivo M de la función que calcule la solución de

ax2 +  bx + c = 0

Su forma general es r_cuad(a,b,c) donde a, b y c pueden ser vectores. Pruebe la función con a=3, b=1, c=1, r_cuad(a,b,c). Pruebe la función con a = [3 1 2], b= [1 -4 9], c = [1 3 -5].

3. Reescriba el siguiente guión sin utilizar break:

  for p = 7:8

    for q = 3:5

      for r = 1:2

        fprintf(' %3.0f %3.0f %3.0f\n',p,q,r)

      end

      if q==4, break; end

    end

  end

4. Escriba el guión anterior utilizando while en lugar de for.

5. Cree un archivo M de función llamado fun_xa que evelúe la siguiente serie:

f(x) = 1 + x + x2/2! +  x3/3!+  x4/4!+ ... + xn/n!

Los valores de x y n se pasan a la función mediante argumentos. Pruebe la función comparando el resultado con cálculos manuales para x = 1 y n = 4. La serie en cuestión es una expansión Mclaurin truncada de ex y converge para -inf < x < inf. Sabiendo esto, pruebe su función con valores de x selectos como x = 0.5, 3.0, -1, con n= 1, 2, 3, 5, 10, y compare el resultado con ex.

Tarea # 2 Graficos en Matlab (entrega 8/2/2013)

1. Grafique las siguientes funciones en el dominio que se indica:

a. y = sen(x)/(1 + cos(x)), 0<= x <= 4p

b. y = 1/(1 + (x-2)2), 0<= x <= 4

c. y = exp(-x)x2, 0<= x <= 10

2. Grafique las dos funciones que siguen en la misma gráfica con un solo comando plot:

Repita la gráfica con dos comandos plot y hold on.

3. Grafique y = cos(m con-1(x)) llamados polinomios de Chebychev para m= 1, 2, ..., 8 en -1<= x <= 1 en dos conjuntos de cuatro gráficas empleando subplot.

4. Las siguientes funciones tienen singularidades, grafíquelea por separado en el dominio que se indica:

Tarea #3 Punto fijo

Encontrar la raíz más grande de

f(x) = 2x3 – 11.7x2 + 17.7x – 5

Resolver por el método del punto fijo partiendo de x = 3.

Tarea #4 Método de Newton

1. El valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularse con la ecuación de anualidad vencida 

A = P[(1 + i )n - 1 ] / i

En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita periódicamente e i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero le gustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de $ 750,000 dólares al momento de retirarse dentro de 20 años, y puede depositar $ 1,500 dólares mensuales para lograr dicho objetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puede invertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuesto mensual?

Escriba un programa en MatLab para este problema, el programa deberá pedir todos los datos necesarios y utilizar el método de Newton para calcular el interés a que debe invertirse el dinero.

Para estimar el valor inicial de i podemos desarrollar el binomio (1 + i)n para aproximarlo a la segunda potencia. El resultado es

 

2. La carga en un circuito RLC serie esta dada por

 

suponga q/q0 = 0.01, t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6 F.

Encuentre el valor de la Resistencia R usando el método de Newton. Haga un programa en MatLab para este problema.

Tarea #5 Sistemas lineales

1. Encuentre la inversa de las siguientes matrices por el método de Gauss haciendo los cálculos manualmente. Compruebe su resultado en MatLab

2.Obtenga el determinante (manualmente) de las matrices anteriores utilizando el método de Gauss.

3 Dadas las siguientes matrices A, B y C, evalúe las siguientes operaciones:

a) 3A – C*B

b) AT – A2

c) (C*B)T – BTCT

 

    | 2 -1  5|       | 1  6  5|        | 1  6|
A = | 2  0  1|   B = | 0 -2  1|    C = | 0 -2|
    | 2  0  1|                         | 3  0|

Tarea #6 Descomposición LU (entrega viernes 15 de marzo)

1. Factorice las siguientes matrices como productos de matrices LU manualmente.

2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones manualmente usando el método de factorización LU. Compruebe sus resultados con el guión de MatLab visto en clase.

3. Modifique el guión Mallas.m para:

a)  leer las fuentes de forma similar a la lectura de las resistencias

b) calcular las potencias disipadas por cada elemento

Nota: las corrientes en cada elemento se calculan restando las corrientes de las mallas en las que se encuentra el elemento.

4. Escriba un archivo de datos para resolver la siguiente red con el uso del guión Mallas.m modificado como se pide en el ejericio 2.

5. Los sistemas idealizados de masa-resorte tienen aplicaciones numerosas en ingeniería. La figura muestra un arreglo de cuatro resortes en serie comprimidos por una fuerza de 1500 kg. En el equilibrio, es posible desarrollar ecuaciones de valance de fuerzas si se definen las relaciones entre los resortes.

k2(x2 - x1) = k1x1

k3(x3 - x2) = k2(x2 - x1)

k4(x4 - x3) = k3(x3 - x2)

F = k4(x4 - x3)

donde las k son constantes de los resortes. Si k1 a k4 son 100, 50, 80 y 200, respectivamente, calcule el valor de las x escribiendo un guión en MatLab

Tarea #7 (Ajuste de mínimos cuadrados)

1. Escriba un archivo M para graficar la recta  del mejor ajuste utilizando mínimos cuadrados. Deberá aceptar como parámetros los valores de X y Y. Grafique los puntos con círculos y la línea de regresión con una recta.

2. Pruebe su archivo M con los siguientes conjuntos de datos:

X 0 2 4 6 9 11 12 15 17 19
Y 5 6 7 6 9  8  7 10 12 12

 

X  6  7 11 15 17 21 23 27 29 37 39
Y 29 21 29 14 21 15  7  7 13  0  3

3. Dados los datos siguientes use regresión por mínimos cuadrados para ajustar a) una línea recta, b) una ecuación exponencial, c) una ecuación de potencias. y d) una ecuación de taza de crecimiento de saturación

X  5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Y 17 24 31 33 37 37 40 40 42 41
 

4.Ajuste un polinomio cuadrático a  los siguientes datos en Excel. Compare con los resultados del comando polyfit.

X   3   4   5   7   8   9  11  12
Y 1.6 3.6 4.4 3.4 2.2 2.8 3.8 4.6

 

5.Ajuste en MatLab a una ecuación cúbica los siguientes datos

X   3   4   5   7   8   9  11  12
Y 1.6 3.6 4.4 3.4 2.2 2.8 3.8 4.6

6. Escriba un guión en MatLab para hacer regresión y ajustar a exponencial, modelo de potencias, tasa de crecimiento de saturación y lineal. El guión debera aceptar los vectores con los datos, y un parámetro que especifique el modelo a usar y deberá graficar los puntos originales y la gráfica del modelo calculado. Calcule y despliegue tambien la desviación estándar, coeficiente de determinación y coeficiente de correlación .

Tarea #8 (Interpolación)

1. Calcule f(2.8) ajustando un polinonomio de interpolación de Newton de órdenes 1 a 3. Elija la secuencia de puntos más adecuada para alcanzar la la mayor exactitud posible de sus estimaciones. Estime el error con la fórmula vista en clase.

X 1.6  2 2.5  3.2  4  4.5
Y   2  8  14   15  8    2

2. Repita elproblema 1 con un polinomio de Lagrange. Escriba el polinomio de Newton yel de Lagrage en forma normalizada y muestre si son iguales.

3. Escriba un guión en MatLab para calcular los coeficientes de un polinomio de interpolación de Lagrange de orden 3.

4. Desarrolle trazadores cuadráticos para los cinco primeros puntos del problema 1 y pronostique f(3.4) y f(2.2).

5. Desarrolle trazadores cúbicos con MatLab (spline)  para los cinco primeros puntos del problema 1 y pronostique f(3.4) y f(2.2).

6. Utilice interpolación inversa para determinar el valor de x que corresponde a f(x) = 0.85, para los datos siguientes:

X 0  1   2   3      4         5
Y 0 0.5 0.8 0.9 0.941176  0.961538
 

7. Escriba un guión en MatLab para graficar los trazadores cúbicos de una serie de valores x,y. Grafique 20 puntos por tramo. Haga dos versiones, una que use el comando spline de MatLab y otra que use el guión de los acetatos.

Tarea #9 (aplicaiones de interpolación)

La velocidad de un cohete esta dada como función del tiempo. Usando splines cuadráticos
a) Encuentre la velocidad en t = 16 s.
b) Encuentre la aceleración en t = 16 s.
c) Encuentre la distancia recorrida entre t = 11s y t = 16 s.

t(s) 0     10     15     20   22.5   30.9
v(s)  0 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67

 

2. Un reactor está estratificado termalmente en la tabla siguiente:

profundidad(m)) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Temperatura (ºC) 70 68  55  22  13  11  10

El tanque puede idealizarse como dos zonas separadas por un gradiente fuerte de temperatura, o termoclina. Laprofundidad de eswste gradiente se define como el punto de inflexión de la curva de temperatura-profundidad, es decir, el `punto en el que d2T/dz2 = 0. A esta profundidad el flujo de calor de la superficie de la capa del fondo se calcula con la ley de Fourier:

Use un ajuste con trazadores cúbicoss de estos datos para determinar la profundidad de la termoclina. Si k = 0.02 cal/(s-cm-ºC), calcule el flujo de calor a través de esta interfaz.

3. La pobloación (p) de una comunidad pequeña en los suburbios de una ciudad crece con rapidez durante un periodo de 20 años:

t   0   5  10  15   20
p 100 200 450 950 2000

Como ingeniero que trabaja en una compañia de infraestructura, el lector debe pronosticar que habrá dentro de 5 años a fin de anticipar la demanda de energía. Emplee un modelo exponencial y regresión lineal para efecturar dicha predicción.

Tarea #10 (diferenciación numérica)

1. Calcule las aproximaciones por diferencias hacia adelante y hacia atrás, de O(h) y O(h2), y aproximaciones por diferencia centrla de O(h2) y O(h4) para la primera derivada de y = cos x, en x = p/4, con el uso de un valor de h = p/12. Estime el error relativo porcentual verdadero para cada aproximación.

2. Para un cohete se recabaron los datos siguientes de la dsitancia recorrida versus el tiempo:

t, s 0 25 50 75 100 125
y, km 0 32 58 78  92 100

use diferenciación numérica para determinar la velocda y aceleración en cada momento.

3. Escriba un guión en MatLab para determinar la primera derivada de datos espaciados irregularmente. Pruebelo con los siguientes datos:

x      1    1.5   1.6      2.5     3.5
f(x) 0.6767 0.3734 0.3261 0.08422 0.01596
 

Tarea #11 (Integración numérica)

1. Evalúe la integral siguiente:

a) en forma analítica; b) Con una sola aplicación de la regla del trapecio; c) con aplicación múltiple de la regla del trapecio con n=2 y n=4; d) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3; e) con aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3, con n= 4; f) con una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8; g) con aplicación múltiple de la regla de Simpson con n= 5. Para los incisos b a g determine el error relativo porcentual de cada una de las estimaciones numéricas, con base en el resulatdo del inciso a.

2. Integre la función siguiente en forma analítica y con el empleo de la de la regla del trapecio, con n = 1, 2, 3 y 4.

Use la solución analíticas para calcular los errores relativos procentuales verdaderos para evaluar la exactitud de las aproximaciones de la regla del trapecio.

 3. Evalúe la integral de los datos tabulados a continuación, con a) la regla del trapecio, b) las reglas de Simpson.

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f(x) 1   8   4 3.5   5   1

 

4. Escriba guiones para implementar en MatLab los algoritmos de evaluación de integrales para la regla del trapecio, regla de Simpson 1/3, regla de Simpson 3/8, regla del trapecio múltiple y regla de Simpson 1/3 más regla de Simpson 3/8 múltiple.